二次元
二次元の場合には，
\(\Large P_2 (r, t) = \frac{1}{4 \pi D t} e^{- \frac{r^2}{4Dt}} \)
となるのですが，そのまま r=0 to ∞，としても計算結果が1となりません．
それは，一次元の場合には確率密度を積分すればいいのですが，二次元以上となると中心からの距離ｒによって占有するエリア（面積，体積）が変わってくるからです．
この緑色の面積がｒによってどう変わるかを計算すると，
\(\Large \begin{align*} S (r, \Delta r) &= \pi ( r + \Delta r)^2 - \pi r^2 \\
&= \pi \left( r^2+2r \cdot \Delta r + \Delta r^2 - r^2 \right) \\
&=
\pi \left( 2r \cdot \Delta r + \Delta r^2 \right) \\
&\simeq 2 \pi r \cdot \Delta r
\end{align*} \)
となりますので，
粒子数＝密度×面積
から，
\(\Large \int_{0}^{\infty} 2 \pi r \frac{1}{4 \pi D t} e^{- \frac{r^2}{4Dt}} dr \)
を計算することになります（積分範囲が0から∞になっていることに注意）．
\(\Large \begin{align*} & \int_{0}^{\infty} 2 \pi r \frac{1}{4 \pi D t} e^{- \frac{r^2}{4Dt}} dr \\
&= \frac{1}{2Dt} \int_{0}^{\infty} r e^{- \frac{r^2}{4Dt}} dr \\
\end{align*} \)
ここで，
\(\Large \frac{d}{dr} e^{- \frac{r^2}{4Dt}} = - \frac{2r}{4Dt} e^{- \frac{r^2}{4Dt}} \)
となるので，
\(\Large r e^{- \frac{r^2}{4Dt}} = -2Dt \frac{d}{dr} e^{- \frac{r^2}{4Dt}} \)
となります．従って，
\(\Large \begin{align*} & \frac{1}{2Dt} \int_{0}^{\infty} r e^{- \frac{r^2}{4Dt}} dr \\
&= \frac{1}{2Dt} \int_{0}^{\infty}\left( -2Dt \frac{d}{dr} e^{- \frac{r^2}{4Dt}} \right) dr \\
&= - \left[
e^{- \frac{r^2}{4Dt}} \right]_0^{\infty} \\
&=
- \left[ 0-1 \right]_0^{\infty} \\
&= 1
\end{align*} \)
となり，規格化されていることがわかります．
次ページに三次元の場合を考えていきましょう．
